Langsung ke konten utama

KELAS IX : Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar (PERSAMAAN KUADRAT)

 Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat

Jenis akar-akar persamaan kuadrat ax^2 + bx + c = 0 dapat ditentukan dengan mengetahui nilai “Diskriminan” (D). Nilai diskriminan terdapat dalam rumus abc sebagai :

D = b^2 - 4ac

Sehingga rumus abc menjadi:

x_{1,2} = \frac{-b \pm sqrt{D}}{2a}

Tanda akar diskriminan ( \sqrt{D} ) dalam rumus abc menentukan jenis dari akar-akar persaaman kuadrat, apakah bilangan real atau tidak real. Sehingga jenis akar-akar PK ax^2 + bx + c = 0 adalah:

  • Jika D < 0 maka akar-akarnya tidak real.
  • Jika D > 0 maka akar-akarnya real (x_1, x_2 \in R) dan berbeda (x_1 \neq x_2).
  • Jika D = 0 maka akar-akarnya real (x_1, x_2 \in R) dan sama atau kembar (x_1 = x_2).

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar

Penjumlahan dan perkalian akar-akar persamaan ax^2 + bx + c dapat dilakukan tanpa harus mengetahui nilai dari akar-akarnya. Jumlah akar-akar dapat diperoleh dengan :

x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

= \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac} - b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

= - \frac{2b}{2a} = - \frac{b}{a}

Sedangkan hasil kali akar-akar dapat diperoleh dengan:

x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \cdot \frac{-b -\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

= \frac{(-b)^2 - (b^2 - 4ac)}{(2a)^2}

\frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}

Dari penjabaran tersebut dapat diketahui bahwa :

  • Penjumlahan akar-akar x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}.
  • Perkailan akar-akar x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.

Ada beberapa bentuk pernyataan matematika yang bisa dirubah kedalam (x_1 + x_2) dan (x_1 \cdot x_2). Tujuan dari perubahan bentuk ini untuk memudahkan dalam peyelesaian persoalan. Perubahan ini dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat aljabar. Berikut ini sebagai contoh bentuk-bentuk perubahan:

  • x_1 + x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2
  • x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3 (x_1 \cdot x_2)(x_1 + x_2)
  • \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{(x_1 + x_2)}{(x_1 \cdot x_2)}

Suatu persamaan kuadrat  x^2 - 2x - 4 = 0 memiliki akar-akar p dan q. Tentukan nilai dari  (p^2 - q^2)^2.

Pembahasan :

Berdasarkan persamaan x^2 - 2x - 4 = 0 diketahui bahwa:

p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{(-2)}{1} = 2

p . q = \frac{c}{a} = \frac{-4}{1} = -4

Sehingga diperoleh

(p^2 - q^2)^2 = ((p + q)(p - q))^2 

                                                   = (p + q)^2 . (p - q)^2

= (p + q)^2 . (p^2 + q^2 - 2pq)

=(p + q)^2 . ((p + q)^2 - 2pq - 2pq)

= (2)^2 . ((2)^2 - 2(-4) - 2(-4))

= 4 . (4 + 8 + 8) = 80


 

 

Komentar

Postingan populer dari blog ini

KELAS VIII : KOORDINAT

  Tujuan : Memahami posisi titik terhadap sumbu x dan sumbu y memahami posisi titik terhadap sumbu x dan sumbu y      Sumbu x, adalah garis bilangan yang posisinya mendatar / horisontal, dan merupakan garis yang diwakili oleh bilangan pertama ( x , y ) B. Sumbu y, adalah garis bilangan yang posisinya tegak / vertikal, dan merupakan garis yang diwakili oleh bilangan kedua ( x , y ): 3. Untuk bisa menentukan letak titik koordinat, maka kedua garis bilangan (sumbu x dan sumbu y itu harus dipertemukan dengan pusat bertemu pada titik nol, menjadi seperti ini : misalnya diketahui sebuah posisi terletak pada titik koordinat ( 3, 4 ), ini mengandung maksud bahwa : - pada sumbu x letakkan titik pada bilangan 3, seperti ini, - pada sumbu y letakkan titik pada bilangan 4, seperti ini, dan bila dijadikan letak titik koor...

KELAS VIII : ULANGAN HARIAN RELASI DAN FUNGSI

  Petunjuk Kegiatan 1. Jawablah Pertanyan berikut?  2. Upload Jawaban dari pertanyaan dibawah ini ke Link  LKS 1. Relasi dari himpunan A ke himpunan B  pada diagram panah di samping adalah . . . A. kurang dari B. setengah dari C. lebih dari D. faktor dari    2. Relasi “factor dari” dari himpunan P = {1, 2, 3} ke  Q = {2, 4, 6} ditunjukkan oleh diagram panah.. 3. K = {3, 4, 5} dan L = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi  “dua lebihnya dari” dari himpunan K ke L adalah …. A. {(3, 5), (4, 6)}  B. {(3, 5), (4, 6), (5, 7)} C. {(3, 1), (4, 2), (5, 3)} D. {(3, 2), (4, 2), (5, 2)} 4. Himpunan pasangan berurutan dari grafik catesius di bawah adalah …   A. {(2, 1), (3, 5), (4, 4), (6, 4)} B. {(1, 2), (2, 4), (4, 6), (5, 3)} C. {(1, 2), (2, 4), (4, 4), (4, 6), (5, 3)} D. {(2, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (6, 4)} 5. Range dari himpunan pasangan berurutan {(2, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (6, 4)}  adalah...